در گذشته برای نوشتن یک میلیون چقدر وقت لازم بود؟

در گذشته براي نوشتن يك ميليون چقدر وقت لازم بود؟

یک میلیون به روش بریدن چوب خط یا ردیف کردن دانه های شن چقدر دشوار است و چه 

زمانی را نیاز دارد. اگر برای کندن هرشیار بر چوب یا چیدن هر ریگ یک ثانیه وقت در نظر بگیریم

 برای نوشتن عدد ۱۰۰۰۰۰۰ مجبور بودید یک میلیون ریگ را یک به یک (هر ثانیه یکی)

بشمارید، ۲۷۸ ساعت یا ۱۱ روز ۱۴ ساعت بدون درنگ وقت لازم داشتید تا به یک میلیون

 برسید.

نظر شما در مورد رفیق

نظر شما در مورد رفیق چیست؟

هنگامی که از فیثاغورس پرسیده شد رفیق چیست؟ جواب داد: “کسی که من دیگریست بدان گونه که ۲۲۰ و ۲۸۴ هستند.”
مفهوم عبارات بالا از نظر ریاضی چنین است: مقسوم علیه های ۲۸۴ عبارتند از: ۱٬۲٬۴٬۷۱٬۱۴۲ که مجموعشان ۲۲۰ است و از طرف دیگر مقسوم علیه های ۲۲۰ عبارتند از: ۱٬۲٬۴٬۵٬۱۰٬۱۱٬۲۰٬۲۲٬۴۴٬۵۵٬۱۱۰ که مجموع اینها برابر ۲۸۴ است. فیثاغورسیان چنین اعدادی را اعداد متحابه (دوست دار هم) می نامیدند. با اینکه کشف چنین اعدادی برای یونانیان مشکلات زیادی را به همراه داشت اما کار مورد علاقه یونانیان بود. بهرحال کشف اینگونه اعداد پیشرفت زیادی نداشت و تا بحال سه زوج دیگر از این اعداد کشف شده اند که به قرار زیر می باشند:
۱۷۲۹۶ ٬ ۱۸۴۱۶ که در سال ۱۶۳۶ میلادی توسط فرما شناسایی شد.
۹۴۳۷۰۵۶ ٬ ۹۳۶۳۵۸۴ که توسط دکارت ارایه گردید.
۱۱۸۴ ٬ ۱۲۱۰ که توسط پاگانینی در سال ۱۸۶۷ میلادی معرفی شد.
سوالی که تاکنون ذهن ریاضیدانان را به خود مشغول کرده اینست که آیا بینهایت از این زوجها وجود دارد یا خیر؟
البته هندیها اعداد متحابه را قبل از فیثاغورس شناخته بودند. همچنین قسمتهایی از کتاب مقدس را میتوان یافت که نشان می دهد یهودیان چنین اعدادی را مبشر سعادت می دانستند. نکته جالب دیگر داستان مورد تردید یک شاهزاده دوره باستان است که نامش بنا به علم حروف برابر عدد ۲۸۴ بود. این شاهزاده سالهای سال دنبال دختری برای ازدواج میگشت که نامش برابر عدد ۲۲۰ باشد و معتقد بود که این عامل باعث خوشبختی در زندگی او می شود.
 

نوار موبیوس

نوار موبیوس

شاید تا به حال اسم توپولوژی را شنیده باشید . به نظر اسم قلمبه سلمبه ای دارد و شاید فکر کنید موضوع خیلی پیشرفته ای باشد که از آن در کتاب های درسی دبیرستان موضوعی تدریس نمی شود . در واقع توپولوژی از شاخه های اصلی و گسترده ریاضیات می باشد و در طول سالها پیشرفت های زیادی کرده . اما اینگونه نیست که دانش آموزان از درک آن عاجز باشند . برعکس به دلیل داشتن ماهیت هندسی در خیلی از جاهای این علم تنها به کمی شهود نیازمندیم . توپولوزی در قسمت های مختلف ریاضیات مانند جبر ، آنالیز حقیقی و مختلط ، هندسه جبری و حتی ترکیبیات کاربرد های فراوان و عظیمی پیدا کرده به طوری که مطالعه ی هر یک از این شاخه ها بدون استفاده از مفاهیم توپولوژیک دشوار تر آن است که فکرش را بکنید . مطالعه ی علم توپولوژی به طور دقیق و آکادمیک نیاز به پیش نیازها و مطالعه ی زیادی دارد ولی بخش های بسیار مهمی از توپولوژی قسمت شهودی آن است که به نظر بنده مطالعه ی آن برای شما بسیار سود مند است .حتی چند سال پیش در این زمینه در مرحله ی اول المپیاد ریاضی کشور سوالاتی آمده بود . در زمینه ی توپولوژی شهودی منابع خوبی در اختیار ماست از جمله کتاب توپولوژی شهودی نوشته ی و.و.پراسلوف که آقای ارشک حمیدی آن را ترجمه کرده اند و انتشارات فاطمی هم ناشر آن است . همچنین سلسله مقالاتی هم تحت عنوان « آرش در سیاره تویاپ » چند سال پیش در نشریه ماهنامه ریاضیات چاپ شده که اگر بتوانید آنها را پیدا کنید منبع بسیار ارزشمندی است . نویسنده ی این مقالات آقای « ایمان افتخاری » هستند که المپیادی ها حتما با اسم ایشان آشنا هستند و در ضمن ایشان مطالعات خودشان را در ریاضیات در همین زمینه ( البته خیلی پیشرفته تر ! ) ادامه داده اند .

حتما تاکنون رویه ها و صفحه های زیادی را دیده اید ، مثل صفحه معمولی ، کره ، مخروط ، استوانه ویا رویه های پر پیچ وتاب تر . ای رویه ها شباهت ها و تفاوت هایی با هم دارند . بیشتر هدف ما هم شناختن اینت شباهت ها و تفاوت ها ست . مثلا یک صفحه ( مثل ورق کاغذ ) دارای پشت و رو هست ، همچنین کره ، استوانه و بقیه ی رویه هایی که از آنها نام بردیبم دارای این خاصیت هستند . رویه ای که می خواهیم به شما معرفی کنیم دارای این خاصیت نیست . یک نوار کاغذی بردارید و مانند شکل یک دور آن را تاب دهید و سپس دو لبه ی آن را به هم بچسبانید . اکنون شما صاحب یک نوار موبیوس هستید ! این رویه ساده و به ظاهر به درد نخور دارای یک خاصیت جالب توپولوژیک است . در واقع نوار موبیوس یک رو بیشتر ندارد . برای امتحان می توانید نوار موبیوس را رنگ کنید . می بینید که بدون برداشتن قلم همه جای آن را می توان با یک رنگ ، رنگ آمیزی کرد بر خلاف صفحه معمولی . به این گونه رویه ها را « رویه های جهت ناپذیر » می نامند .

 حال به عنوان یک آزمایش جالب نوار موبیوس تان را یک بار از روی خط سبز مشخص شده در شکل باقیچی بچینید . حال نوار موبیوس دیگری بسازید واین بار نوار جدید را در امتداد خط قرمز مشخص شده در شکل قیچی کنید . حاصل دو آزمایش را با هم مقایسه کنید .

ادب ریاضی

                                                 ادب ریاضی

مثال اول
حساب احتمالات در واقع چیزی جز عقل سلیم نیست که به محاسبه درآمده است. این حساب چیزی را که صاحبان فکر بدون آن که متوجه باشند به غریزه در می‌یابند، با دقت و صحت بیان می‌دارد. این علم که با ملاحظات مربوط به زبانهای شانسی وتصادف بوجود آمد، امروزه آنچنان اهمیتی یافته است که از مهمترین مسایل معرفت آدمی به شمار می‌آید.

                                                                                   بی‌یر سیمون لاپلاس

مثال دوم
قبل از اقلیدس هندسه عبارت بود از مجموعه قواعدی که ماحصل تجارب و ادراکات متفرق بوده‌اند و هیچ ارتباطی با یکدیگر نداشته‌اند و هیچ کس حتی حدس نمی‌زد که مجموعه این قواعد را ممکن است از عده بسیار کمی اصول نتیجه گرفت. امروزه استدلال ریاضی تا آن حد جزء اساس و مبنای این علم به شمار می‌رود که حتی تصور این موضوع نیز برای ما ممکن نیست که ریاضیات بدون استدلال چه وضع و حالی داشته است.

                                                                                    ای. تی. بل

مثال سوم
اگر اکتشافهای گاوس در موقع خود ، به اطلاع مردم رسیده بود، مانع می‌گردید که کوشی ، آبل ، ژاکوبی و بسیاری ریاضیدانان دیگر ، وقت خود را در مسایلی تلف کنند که وی قبلا آنها را حل کرده بود و نیز موجب پیشرفت عظیمی در علوم ریاضی می‌شد. متاسفانه گاوس که شخصی تندخو و ترشرو بود و لجاجتی بی‌مانند داشت، فقط وقتی اکتشافهای خود را انتشار می‌داد که کاملا تمام و از قید طرح و چوب بستی که برای ساختن آن ایجاد گردیده بود، فارغ شده باشد.

دوستانش میل داشتند که وی متون واضحتری برای ایشان بنویسد یا روش خود را در حصول نتیجه به آنان بگوید. اما گاوس جواب داد که فقط برای تبعیت از طبع خود کار می‌کند، نه برای آموختن به دیگران. بنابراین ، همواره اکتشافهای خود را به صورت معماهایی از این قبیل یادداشت می‌کرد: یافتم: عدد= ∆+∆+∆ (یعنی هر عدد صحیح مثبت ، مساوی با مجموع سه عدد مثلث شکل است، از قبیل اعداد ۱ ، ۳ ، ۶ و غیره. این اعداد را از آن جهت مثلث شکل می‌گویند که عبارت‌اند از مجموع اعداد متوالی ابتدا از واحد که می‌توانند به صورت مثلثی نوشته شوند.

                                                                      پی‌یر روسو

مثال چهارم
اولین شاخه و انشعاب علمی ، آن شعبه‌ای بود که مطلقا احتیاج به تجربه نداشت و برای پیدایش آن حداقل توجه و علاقمندی لازم بود. اما چه کسی برای این کار علاقمندتر از چوپانی است که چون گله خود را به چراگاه می‌برد، شبانگاه هنگام مراجعت می‌خواهد بداند که همه آنها به جای خود هستند یا نه؟ خواهید گفت که برای اطمینان از این مطلب کافی بود که چوپان گوسفندان خود را بشمارد، اما چوپان عهد حجر هنوز شمردن نمی‌دانست و با این حال طبعا جهل او مانع آن نمی‌گردید که وی تعداد واقعی آنها را معین نکند.

مرغ خانگی نیز که حساب و حساب کردن نمی‌داند هنگامی که یکی از جوجگان او غایب باشند ناله و فریاد می‌کند و او را می‌طلبد. اما به زودی چه چپان و چه آن کشاورزی که احتیاج داشت تا وسعت مزرعه خود را تعیین کند و چه بسیار کسان دیگر در نتیجه احتیاج مجبور شدند نوعی وسیله شمارش دقیق‌تر ، غیر از غریزه طبیعی خود ، بوجود آورند و برای این کار انگشتان دست ، دستگاه حساب کردن آماده و مهیایی بود.

                                                                         پی‌یر روسو

مثال پنجم
این قدر می‌دانم که در حدود سال ۴۵۰ قبل از میلاد مسیح یونانیان دارای هندسه‌ای بدوی و مقدماتی بوده‌اند: موضوع این هندسه فقط طریقه‌های عملی و دستورهای قابل استفاده در اندازه‌گیری طول پارچه یا میزان محصول زیتون نبوده است، بلکه استدلالها وبراهین منطقی متصل به یکدیگر دیده می‌شد که در حدود هندسه مقدماتی ما بوده‌اند. بدون شک این استدلالها آنقدرها دقیق نبوده است و بیشتر از الهام و مکاشفه استفاده می‌کردند تا از منطق و بیشتر آنها مربوط به ساختمانهای هندسی بوده است.

                                                                           پی‌یر روسو

حسابان در يك نگاه

                                          حسابان در يك نگاه                    

حسابان یکی از شاخه‌های اصلی ریاضیات است. این رشته از تحول جبر و هندسه ناشی شده است. حسابان خود دو شاخه اصلی دارد: حساب فاضله (یا حساب دیفرانسیل) و حساب جامعه (یا حساب انتگرال.)

               نام‌گذاری

این رشته را در زبان انگلیسی calculus می‌خوانند. واژه “کلکول” اصلاً از زبان یونانی آمده و به معنای ریگ و قلوه سنگ است. نام این رشته یادگار دورانی است که یونانیان با چیدن ریگ بر زمین مفاهیمی در حساب و هندسه را نمایش می‌دادند.

در گذشته در فارسی به این رشته “حساب جامعه و فاضله” و نیز “حساب دیفرانسیل و انتگرال” گفته می‌شد. در سال‌های اخیر واژه “حسابان” به‌کار می‌رود که اشاره به دو شاخه فرعی این رشته دارد.

             مفاهیم اصلی

حسابان بر پایه دو مفهوم اصلی و مربوط به هم یعنی مشتق و انتگرال بنا شده است. مشتق بیان نسبت تغییرات یک کمیت به کمیت دیگر است. انتگرال بیان جمع کمیت‌هاست. هر دوی این مفاهیم با مفهوم حد مرتبط‌اند.

            کاربردها

حسابان در بیشتر رشته‌های علمی و فنی کاربرد دارد.

           مباحث پایه

حساب تغییرات یک تابع،مشتق،کاربردهای مشتق،انتگرال،کاربردهای انتگرال معین،روشهای انتگرال گیری،توابع هایپربولیک،مختصات قطبی،دنباله و سری،سریهای توانی،بردارها،توابع برداری و حرکت آنها،رویه ها ، سیستم های مختصات و رسم آنها

       

تصاعد

                                                               تصاعد

در کشور ما ایران در سده های چهارم و پنجم هجری ، بسیاری از ریاضی دانان ایرانی ، به بررسی تصاعد ها پرداخته‌ اند از جمله « ابوریحان بیرونی » در کتاب خود به نام « آثار الباقیه عن القرون الخالیه » مسیله معروف صفحه شطرنج را که در واقع مسیله ای مربوط به یک تصاعد هندسی است که جمله ی اول آن واحد و تعداد جمله ها ۶۴ باشد ، حل کرده است و با استدلال دقیق ، مجموع جمله های این تصاعد را به دست آورده است
۱۸۴۴۶۷۴۴۰۷۳۵۵۱۶۱۵
درباره صفحه شطرنج ، روایتی وجود دارد . وقتی مخترع شطرنج ، کشف خود را به شاه عرضه کرد ، شاه از اوخواست پاداشی بخواهد ، دانشمند پاسخ داد : به خاطر خانه اول شطرنج ، یک دانه گندم به من بدهید و به خاطر خانه دوم دو دانه‌ی گندم و به خاطر خانه سوم چهار دانه‌ی گندم و همینطور برای هر خانه دو برابر خانه‌ی پیش از آن گندم به من بدهید تا به خانه شصت و چهارم برسد . شاه با ساده لوحی فرمان داد یک کیسه گندم به این مرد بدهید . ولی او نپذیرفت و تقاضا کرد پس از محاسبه دقیق ، گندم را به او بدهند و پس از محاسبه، عددی را که در بالا آوردیم پیدا شد .که اگردر تمام سطح کره زمین (یعنی هر جا که خشکی باشد ) گندم بکارند این مقذار گندم به دست نمی آید. ابوریحان بیرونی با استدلال به این نتیجه رسید که مقدار گندم ها برابر ۲۶۴-۱ و برای محسوس کردن این عدد می گوید:در سطح کره مین ۲۳۰۵ کوه را در نظر می گیریم ، اگر از هر کوه ۱۰۰۰۰رود جاری شود ، در طول رود خانه ۱۰۰۰قطار قاطر حرکت کند و هرقطار شامل ۱۰۰۰قاطر باشد و بر هر قاطر ۸ کیسه گندم قرار داده باشیم . ودر هر کیسه ۱۰۰۰۰دانه گندم باشد . آن وقت عدد همه‌ی این گندم ها از تعداد گندم های صفحه شطرنج کوچکترمی شود.
به نظر شما جالب نیست؟

ادامه دهندگان مسیر افلاطون

ادامه دهندگان مسیر افلاطون

* ایودوکسوس که هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌ای در سینویکوس در آسیای صغیر تاسیس کرد.
* منایخموس از معاشرین افلاطون و یکی از شاگردان ایودوکسوس ، مقاطع مخروطی را ابداع کرد.
* دینوستراتوس ، برادر منایخموس، هندسه دانی ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
* تیاتیتوس ، مردی با استعدادهای خیلی عادی که احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌های دهم و یازدهم اقلیدس را نیز به او مدیونیم، یکی از شاگردان تیودوروس بود.
* ارسطو گرچه ادعای ریاضیدانی نداشت ولی سازمان دهنده منطقی قیاسی و نویسنده آثاری در باب موضوعات فیزیکی بود. وی تسلط خارق العاده‌ای بر روشهای ریاضی داشت.

مسیرهای تکامل ریاضیات در یونان

در تکامل ریاضیات طی ۳۰۰ سال اول ، سه خط سیر مهم و متمایز را می‌توان تشخیص داد.

* ابتدا ، بسط مطالبی است که در اصول مدون شد، که با توانایی توسط فیثاغورثیان شروع شد و بعدها بقرط ، ایودوروس ، تیاتیتوس ، دیگران مطالبی به آن اضافه کردند.

* خط سیر دوم شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بینهایت کوچکها و روندهای حدی و مجموع یابی که تا بعد از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهایی دست نیافتند. پارادوکسهای زنون؛ روش افنای آنتیخوان و ایودوکسوس و نظر اتمی بودن جهان که به نام دموکریتوس مربوط است، به مسیر رشد دوم تعلق دارند.

* سومین مسیر تکاملی مربوط به هندسه عالی یا هندسه منحنیهایی بجز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است. شگفت آنکه قسمت عمده این هندسه عالی در تلاشهای مستمر برای حل سه مساله ترسیم که امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعیف مکعب ، تثلیث زاویه و تربیع دایره اختصاص دارد.

تاریخ پیدایش ریاضیات

تاریخ پیدایش ریاضیات
سه قرن اول ریاضیات یونانی که با تلاشهای اولیه در هندسه برهانی بوسیله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد به اوج رسید، دوره‌ای از دستاوردهای خارق العاده را تشکیل می‌دهد.

در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از میلاد بود که قبایل بدوی “دوریایی” با ترک دژهای کوهستانی شمال برای دستیابی به قلمروهای مساعدتر در امتداد جنوب راهی شبه جزیره یونان شدند و متعاقب آن قبیله بزرگ آنها یعنی اسپارت را بنا کردند. بخش مهمی از سکنه قبلی برای حفظ جان خود ، به آسیای صغیر و زایر یونانی و جزایر یونانی دریای اژه گریختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهای تجاری یونانی را برپا کردند. در این مهاجرنشینها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب یونانی نهاده شد و فلسفه یونانی شکوفا شد و هندسه برهانی تولد یافت. در این ضمن ایران بدل به امپراطوری بزگ نظامی شده بود و به پیروزی از یک برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر یونیا و مهاجرنشینهای یونانی آسیای صغیر را تسخیر نمود. در نتیجه عده‌ای از فیلسوفان یونانی مانند فیثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشینهای در حال رونق جنوب ایتالیا کوچ کردند. مدارس فلسفه و ریاضیات در “کروتونا” زیر نظر فیثاغورث در “الیا” زیر نظر کسنوفانس ، زنون و پارمیندس پدید آمدند.

در حدود۴۸۰ سال قبل از میلاد آرامش پنجاه ساله برای آتنیها پیش آمد که دوره درخشانی برای آنان بود و ریاضیدانان زیادی به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزی” بین آتنیهای و آسپارتها ، صلح به پایان رسید و با شکست آتنیها دوباره رکورد حاصل شد.
ظهور افلاطون و نقش وی در تولید دانش ریاضی
اگرچه با پایان جنگ پلوپرنزی مبادله قدرت سیاسی کم اهمیت تر شد، اما رهبری فرهنگی خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن یا حوالی آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) که در همان سال نیز طاعون بزرگی شیوع یافت و یک چهارم جمعیت آتن را هلاک رد و موجب شکست آنها شد، به دنیا آمد، وی فلسفه را در آنجا زیر نظر سقراط خواند و سپس در پی کسب حکم عازم سیر و سفرهای طولانی شد. وی بدین ترتیب ریاضیات را زیر نظر تیودوروس در ساحل آفریقا تحصیل کرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آکادمی معروف خود را تاسیس کرد.

تقریبا تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم (ق.م) بوسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمی افلاطون به عنوان حلقه ارتباط ریاضیات فیثاغورثیان اولیه و ریاضیات اسکندریه در آمد. تاثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیات ریاضی وی نبود، بلکه به خاطر این اعتقاد شورانگیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از اینرو در پرورش فیلسوفان و کسانی که می‌بایست دولت آرمانی را اداره کنند، نقش اساسی داشت. این اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آکادمی وی توجیه می‌کند: “کسی که هندسه نمی‌داند، داخل نشود.” بنابراین به دلیل رکن منطقی و نحوه برخورد ذهنی نابی که تصور می‌کرد مطالعه ریاضیات در شخص ایجاد می‌کند، ریاضیات به نظر افلاطون از بیشترین اهمیت برخوردار بود، و به همین جهت بود که جای پر ارزش را در برنامه درس آکادمی اشغال می‌کرد. در بیان افلاطون اولین توضیحات درباره فلسفه ریاضی موجود هست.

آشتی با ریاضیات

                   آشتی با ریاضیات

گاليله می گفت:«رياضيات،زبان طبيعت است و برای شناخت طبيعت و آشنايی با قانون های حاکم بر آن،بايد اين زبان،يعنی رياضيات را فرا گرفت.»به جز اين،بايد گفت:رياضيات،در ضمن،زبان زندگی است؛بدون رياضيات،نمی توان زندگی را شناخت و نمی توان بر دشواری های آن غلبه کرد. ولی طبيعت و زندگی،پيچيدگی های بسيار دارند و به سادگی نمی توان آن ها را شناخت.زندگی روز به روز بغرنج تر می شود و ،همراه با آن،برای تحليل و توضيح جنبه های مختلف زندگی (از اقتصاد و صنعت گرفته تا پزشکی و جامعه شناسی و روان شناسی)،به رياضياتی پيچيده تر ، پيش رفته تر و دقيق تر نياز دارد.به همين ترتيب،هر چه در ژرفای قانون مندی های حاکم بر طبيعت بيشتر فرو می رويم،خود را نيازمند به ابزار های تازه ای در رياضيات می بينيم.پيچ ها و مهره های طبيعت،با يک آچار باز نمی شوند و ،گاه،برای درک طبيعت،ناچاريم ابزار تازه و تازه تری بسازيم. رياضيات هرگز کهنه نمی شود،کشف های تازه و ابزار های تازه در رياضيات،به معنای دور ريختن کشف های قبلی و کنار گذاشتن ابزار های پيشين نيست.پيشرفت رياضيات،به معنای نابودی رياضيات کهن و جانشينی انديشه های نو نيست،بلکه به اين معناست که لباس تازه ای بر قامت رياضيات بدوزيم،انديشه های پشين را سوهان بزنيم،نياز های تازه را (چه برای حل دشواری های زندگی و چه برای شناخت بهتر طبيعت)،با دقيق تر کردن ابزار کار خود،يعنی ريا ضيات،برطرف کنيم. رياضيات مثل يک موجود زنده عمل می کند:در حرکت است،خود را تصحيح می کند،در هر جا ابزار ويژه ی آن را به کار می برد و هرگز قانون های اصلی خود را نقض نمی کند.تنها هميشه هشدار می دهد که، از هر دستوری يا فرمولی،در جای خودش استفاده کنيد،وگر نه دچار اشتباه می شويد. ... متنی که خوانديد از استاد پرويز شهرياری بود

کاربرد مثلث در موسیقی

                                 کاربرد مثلث در موسیقی

مثلث از ابتدایی ترین اشکال هندسی بوده که انسانها در هنر از آن استفاده میکردند، بدون شک اولین نوع از انواع مثلث هم که در هنر از آن استفاده شده مثلث متساوی الاضلاع بوده است. اهرام مصر نمونه بسیار قدیمی (حدود ۲۸۰۰ سال پیش از میلاد) از کاربری مثلت در هنر معماری قدیم بوده است. نمونه های دیگر از استفاده از مثلث در هنر تمدن های قدیم را می توان در کاشی کاری های دیواره معابد در نپال مشاهده کرد.
معروف است تالس (۶۴۰-۵۵۰ سال پیش از میلاد) که پدر ریاضیات، نجوم و فلسفه یونان باستان بوده از شاگردان خود می خواهد که به مصر سفر کنند تا از پیشرفت علوم در آن تمدن اطلاعات لازم را کسب کنند و فیثاغورث (Pythagoras) از اولین افرادی بوده که این دستور را می پذیرد و به مصر سفر میکند. فیثاغورث از بنیانگذاران علم موسیقی در جهان بوده و اغلب از هندسه برای مدل کردن استفاده می کرده، می خواهیم با استفاده از تجربیات او سلسله مطالبی را پیرامون ارتباط موسیقی با علوم هندسه، فیزیک و ریاضی آغاز کنیم.

موسیقی را می توانیم به روشهای مختلف مدل کنیم برای شروع کار ساده ترین روش را انتخاب میکنم که عبارت است از مدل کردن عمودی موسیقی یاهمان هارمونی. این روش مدل کردن به موسیقیدان ها کمک می کند تا هنگام فکر یا گوش کردن به هارمونی تصویر بهتری از نت های موسیقی داشته باشند بخصوص برای نوازندگان سازغیر از پیانو.

یک دایره در نظر بگیرید و آنرا به دوازده قسمت مساوی (یک اکتاو کروماتیک) تقسیم کنید و نت ها را به ترتیب روی هر قسمت بنویسد مانند شکل. یکی از ساده ترین اشکال هندسی که در این دایره تقسیم شده می توان ساخت مثلت متساوی الاضلاع می باشد. که اگر آنرا بسازید و به آن دقت کنید تفسیر موسیقی آن یک آکورد افزوده خواهد بود. حتما” شنیده اید که آکوردهای افزوده جدای از اینکه معکوس باشند یا نه چهار حالت بیشتر نیستند که دایره فوق این موضوع را بسادگی نمایش میدهد چرا که اگر راس بالایی مثلث را در جهت عقربه های ساعت حرکت دهیم تا رسیدن به نت E و انطباق دوباره روی خود، می تواند سه حالت دیگر را به خود بگیرد. همچنین به وضوح در شکل می توان دید که یک آکورد افزوده از سه فاصله (که در اینجا هرکدام یک ضلع مثلث هستند) یکسان معادل ۴ نیم پرده تشکیل شده است.

مثلث متساوی الاضلاع معادل یک آکورد افزوده

شما باز هم می توانید مثلث های دیگری درست کنید. به شکل بعدی نگاه کنید که آکوردهای دو ماژور و لا مینور را نمایش میدهد. این دو مثلث (آکورد) خصوصیات جالبی دارند اولا” اضلاع آنها باهم برابر است، ثانیا” نسبت به خطی که از D کشیده میشود و به G# ختم میشود متقارن می باشند، حتما” می دانید که مینور نسبی گام دو ماژور، لامینور می باشد. به این طریق شما می توانید یک روش ساده برای پیدا کردن گامهای مینور و ماژور نسبی پیدا کنید، هر چند اینکار در پیانو بخاطر وضوح دیداری که چیدمان نت ها وجود دارد ساده می باشد.
مثلث های متساوی الساقین هم جالب هستند یکی از آنها آکورد sus۲ را تشکیل میدهد که در شکل مشاهده میکنید و همچنین میتوانید آکوردهای کاسته را نیز باز با یک مثلث متساوی الساقین درست کنید. اگر دقت کنید این مثلث متساوی الساقین حالت آکورد sus۲ برای C و حالت آکورد sus۴ برای G دارد. بنابراین می توان به ارتباط نزدیک آکوردهای sus> در حالت های ۲ و ۴ برای فاصله های پنجم با یکدیگر پی برد. این نکته هم جالب خواهد بود اگر شما راس D در این مثلث را نسبت به راس C قرینه کنید به آکورد sus۲ دیگری می رسید که یک پرده عقب تر است آکورد Csus۴قرار دارد.

آکوردهای بزرگ، کوچک، sus۲ و sus۴

شما می توانید دامنه مدل کردن را ادامه دهید و راجع به سایر مثلث ها فکر کنید، همچنین می توانید آکوردهای چهار صدایی را با انواع چهار ضلعی ها مدل کنید. سوالی که پیش می آید این است که آیا هستند افرادی که با شنیدن موسیقی این اشکال در ذهن آنها نقش ببندد؟

محاسبه عدد پی

محاسبه عدد پی

کمی بیش از دو قرن است که نسبت طول محیط دایره را به قطر آن ،با نشانهπ می شناسند. این نشانه حرف اول یک کلمه یونانی به معنای محیط است.برای نخستین بار «ویلیام جون»،ریاضیدان انگلیسی،در سال ۱۷۰۶ از این نشانه استفاده کرد و از میانه سده هجدهم که« لیونارد اولر» کتاب «آنالیز» خود را چاپ کرد دیگر در همه جا به کار رفت.ولی خود مفهوم این عدد (البته بدون اینکه نشانه ای برای ان در نظر گرفته شده باشد )،بیش از چهارهزار سال سابقه دارد.آنها که هرم مشهور « خیوپو س » رامورد بررسی قرار د اده اند در نسبت اندازه های آن،رد پاهای اشکاری از این نسبت یعنی نسبت محیط دایره به قطر آن دیده اند: خارج قسمتی که از تقسیم مجموع دو ضلع قاعده بر ارتفاع هرم به دست می آید، مساوی ۱۴۱۶/۳ است واین همان مقدار عدد π است که سه رقم بعد از ممیز ان دقیق است. «پاپیروس» معروف به «آهمس» روش زیر را برای ساختن مربعی که سطح دایره داشته باشد ،ذکر می کند: «از قطر دایره ، یک نهم آن را کنار بگذارید و مربعی بسازید که ضلع آن مساوی اندازه بقیه قطر باشد . این مربع هم ارز دایره خواهد بود .» از این مطلب نتیجه می شود که مقدار π برای آهمس ، برابر ۱۶۵۰/۳ بوده است . ظاهرا” سازندگان همرم ها ، از راز این عدد آگاه بوده اند.

در جریان چهار هزار سال بعد ، عددد πدچار دگرگونی های شدیدی شد . مقدار آن از ، که ارشمیدس داده بود و به صورت اعشاری آن ، ت دو رقم اعشار بعد از ممیز درست است ، به مقدار دقیق آن در سده نوزدهم رسید که تا ۷۰۷ رقم درست آن معلوم شد . در زمان ما به کمک حسابگرهای الکترونی ، مقدار عدد π تا بیش از ۱۰۰۰۰۰۰ رقم بعد از ممیز محاسبه شده است . سال ۱۸۸۲ را می تون در تاریخ عدد π ، تاریخ دگرگونی مهمی دانست . در این سال ، « لیندمان » ریاضیدان آلمانی ، خصلت اسرارآمیز این عدد را مشخص کرد : « عدد π نمی تواند ریشه ی یک معادله جبری با ضریب های صحیح باشد.»

چرتکه

                         چرتکه                                                                           

چرتکه (Abacus) وسیله محاسبه ای قدیمی است که هنوز در بسیاری از کشورهای آسیایی

 مورد استفاده قرار میگیرد.

ساختار چرتکه

یک چرتکه استاندارد برای انجام چهار عمل اصلی ریاضی مورد استفاده قرار میگیرد و میتوان

 از آن برای محاسبه ریشه دوم و سوم اعداد نیز استفاده کرد. چرتکه از یک قاب اصلی تشکیل

 شده است که چندین میله عمودی در آن جاسازی شده و در هر یک از این میله ها تعدادی مهره

 چوبی وجود دارند که به بالا و پایین حرکت میکنند. یک میله افقی فضای داخل قاب را به دو

 قسمت تقسیم میکند که به نام ردیف بالا و ردیف پایین شناخته میشوند.
اجزا و شیوه محاسبه

چرتکه را برای استفاده بر روی سطح صافی مانند میز یا روی پا قرار میدهند و تمام

مهره های بالا و پایین را به سمت مخالف میله افقی حرکت میدهند.

ارزش مهره ها : ارزش عددی هر مهره در ردیف بالا ۵ و در ردیف پایینی معادل ۱ است.

هنگامی که مهره ها به سمت میله افقی حرکت داده شوند در واقع شمرده شده اند.

شمارش: هنگامی که ۵ مهره در ردیف پایینی شمرده شود، نتیجه به ردیف بالا منتقل میشود.

 هنگامی که تمام مهره های بالا و پایین یک ستون شمرده شدند،نتیجه آن یعنی (۱۰) به

 نزدیکترین ستون سمت چپ آن منتقل میشود.

آخرین ستون سمت راست، ستون یکان است، ستون بعدی دهگان، بعدی صدگان و الی آخر.

 محاسبات اعشاری به این ترتیب انجام میشود که فاصله بین دو ستون به عنوان ممیز

 تعیین میشود و تمام ستونهای سمت راست این فاصله اعداد اعشار و ستونهای سمت چپ

 اعداد صحیح را نشان میدهند.

چرتکه در زمان ما

امروزه مغازه داران آسیایی همچنان از چرتکه برای محاسبات خود استفاده میکنند و

 استفاده از چرتکه در بسیاری از مدارس خاور دور تدریس میشود.برای آموزش

 محاسبات ریاضی به کودکان نابینا هم از چرتکه استفاده میشود و این بهترین وسیله

 جایگزین برای کاغذ و مداد است. علاوه بر آن در بسیاری از مدارس عادی نیز به

 جای ماشین حساب و یا انجام محاسبات روی کاغذ، از چرتکه استفاده میکنند و

روش استفاده آنرا به دانش آموزان تعلیم میدهند.

آگاهي سودمند براي حل مسأله

                     آگاهي سودمند براي حل مسأله

يكي از مهم ترين كارها عبارت از بسيج عنصرهاي لازم موجود در ذخيرة دانشي خود و تطبيق آن ها با عنصرهاي مسأله است . براي اين منظور مي توان از درون و از بيرون حركت كرد . مي توان مسأله را باز كرد  و منصفانه قسمتهاي مختلف آنرا مورد مطالعه قرار داد . به اين اميد كه به فراخواندن بعضي آگاهي هاي مفيد كه در درون مسأله وجود دارد كمك كند ولي مي توان از بيرون با مسأله برخورد كرد و با گشت و گذار در ميدان هاي مختلف ذخيره علمي خود ميدان آگاهي هاي سودمند را پيدا كرد . مي خواهيم نحوة كار را از بيرون را براي نزديك شدن به مسأله را دنبال كنيم هر آگاهي و تجربه اي كه در گذشته بدست آورده ايم .ممكن است براي حل مسأله مورد نظر مفيد باشد ولي روشن است نمي توان نقطه به نقطه آگاهي هاي خود را مورد بازديد قرار داد و تمامي تجربه هاي گذشته خود را از نظر گذراند . حتي وقتي با يك مسأله رياضي سروكار داريم و صحبت بر سر ميداني كاملاً روشن و منظم از آگاهي هايي كه از قبل و ضمن حل مسئله ها و اثبات قضيه ها ذخيره كرده ايم آن هم در مورد شاخة مشخصي از رياضيات باز هم نمي توان به مطالعة همة مورد هايي كه به مسئله ها مربوط مي شود پرداخت و همة موضوع ها را يكي پس از ديگري مورد بررسي قرار داد . بنابراين ناچاريم خود را محدود كنيم و چنان نقطه هاي را مورد جست و جو قرار  دهيم كه شانس سودمند بودنشان بيشتر از ديگران است . مي خواهيم قضيه اي را ثابت كنيم جزءهاي عمدة آنرا مطالعه كرده ايم (حكم ، فرض ،شرط ) اكنون مي خواهيم در خاطرة خود به جست و جو بپردازيم و در ميان مسئله هايي كه قبلاً حل كرده ايم آن را كه مي توان مفيد باشد پيدا كنيم . طبعاً  سراغ  مسئله اي  مي رويم  كه با مسئله ما وجه اشتراكي داشته باشد .مجهول يا يكي از مجهول هاي آن ، مثل هم باشند  ، در همه يا يكي از فرض ها مشترك باشند هر دو بر اساس يك مفهوم اصلي ساخته شده باشند و غيره . در ميان همه نقطه هاي اشتراكي كه ممكن است بين مسئله ها باشد يكي شايسته توجه بيشتري است و آن مجهول است . مسئله هاي حل شده اي كه داراي همان مجهول مسئله مورد بحث ما هستند بر ساير مسئله هاي حل شده برتري دارند . اگر نتوانيم مسئله حل شده اي را با همان مجهول مسئله مورد بحث پيدا كنيم مي توان به جست و جوي مسئله اي با مجهول خويشاوند پرداخت . چنين مسئله هائي اگر چه درجه اول نيستند به هر حال حق تقدم دارند . در حالت اثبات يك قضيه هم ، وضع به همين ترتيب است  . قبل از همه بايد در جست وجوي قضيه هاي ثابت شده اي بود كه همان حكم قضيه ما را داشته باشند .

در مرحله بعد بايد قضيه هايي را قرار داد كه حكمي خويشاوند با مسئله مورد نظر ما دارند.

آشنایی با سری فیبوناتچی

                آشنایی با سری فیبوناتچی

باورکردنی نیست اما در سال ۱۲۰۲ لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها بعنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید :

…,۰,۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴۴

البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :

۱/۱, ۲/۱, ۳/۲, ۵/۳, ۸/۵, ۱۳/۸, ۲۱/۱۳, ۳۴/۲۱, ۵۵/۳۴, ۸۹/۵۵, ۱۴۴/۸۹, …

و یا :

۱, ۲, ۱.۵, ۱,۶۶۶, ۱.۶, ۱,۶۲۵, ۱.۶۱۵۳, ۱.۶۱۹۰, ۱.۶۱۷۶, ۱.۶۱۸۱, ۱.۶۱۷۹و …

بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :

fn = Phi n / ۵½
که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

              معمای زاد و ولد خرگوش!

در واقع فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما” باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)

ارتباط میان موسیقی و ریاضی

      مشخصترین  ارتباط میان موسیقی و ریاضی
اولین دخالتی که ریاضیات می تواند در موسیقی انجام دهد از آنجا ناشی می شود که موسیقی ناشی از تکرار برخی اصوات - یا نت های موسیقی - در بازه زمان است. طول مدت نتها را می توان اندازه گرفت و به روابطی میان آنها در بازه زمان دست پیدا کرد. همانند آنچه در تحلیل ریتم های مختلف انجام می شود.

مسئله دیگر بررسی ارتباط فرکانسی میان نت های مختلف موسیقی و ارتباطات میان نت های موسیقی و زیبایی شناسی است که اغلب در مباحث مربوط به فیزیک صوت بررسی می گردد. این ارتباط همچنین می تواند به تحلیل ریاضی گونه از انواع سبک های هارمونی و یا انواع روشهای ساخت ملودی از روی موتیف مشخص و … باشد.

اما آیا ارتباط موسیقی و ریاضیات در همین حد یعنی مدل کردن رفتار موسیقی با کمک روابط ریاضی است؟

نتایج برخی تحقیقات جدید
بدون شک سخن نا آشنایی نخواهد بود اگر بگوییم که تحقیقات دانشمندان (New Scientist شمار ۱۵۳) نشان داده است، کودکانی که پیانو می نوازند و آموزش موسیقی می بینند معمولا” :

- توانایی بیشتری در درست کردن پازل های پیچیده دارند،
- خیلی بهتر از سایر کودکان شطرنج بازی می کنند،
- و دارای قدرت استنتاج بیشتری هستند.

همچنین در بررسی دیگری (The American Mathematical Monthly شماره ۱۰۳) مشاهده شده است که بیش از ۶۸ درصد دانشجویان رشته ریاضی از کلاسهای موسیقی بعنوان دروس اختیاری برای فارغ التحصیل شدن اختیار می کنند. نتیحه این بررسی رابطه نا شناخته میان موسیقی و ریاضی را تا حد زیادی آشکار میکند.

ریاضیات و موسیقی 2

    ریاضیات عقلی در مقابل موسیقی احساسی
 اگر ریاضیات با عقل انسان در ارتباط است، موسیقی را می توان از مهمترین هنرهایی دانست که بسادگی روح آدمی را تحت تاثیر خود قرار میدهد که خوشبختانه امروزه در جوامع مختلف بصورت بسیار زیادی با زندگی عجین شده است. همه ما حداقل یک قطعه موسیقی را از حفظ بلد هستیم و به هنگام خلوت، هنگام کار یا رانندگی و … آنرا زمزمه می کنیم. حتی درصد بالایی از مردم توانایی نوازندگی و خوانندگی بصورت آماتور و یا حرفه ای را دارا میباشند. موسیقی در یک نگاه ساده هنری است که تمام مردم می توانند بسادگی با آن تعامل داشته باشند.

اما چگونه ممکن است ریاضیات که علمی کاملا” عقلی است با موسیقی که هنری کاملا” احساسی است، مشابهت هایی با یکدیگر داشته باشند و یا حتی در برخی زمینه ها همگرایی هایی؟

ریاضیات و موسیقی 1

      ریاضیات و موسیقی - ۱      

ریاضیات و موسیقی هر یک بنوبه خود از ابتدای خلقت در مسیر تکامل تمدن بشری نقش موثری داشته اند. ریاضیات بطور مستقیم با پیشرفت گونه های مختلف علوم تجربی، نظری، مهندسی و … در ارتباط بوده و موسیقی علاوه بر تاثیر مستقیم بر سایر هنرها، همه روزه درحال تعامل با انسان در تمام نقاط جهان است بگونه ای که امروزه از آن حتی بعنوان یک ابزار برای جهت دادن به پدیده های اجتماعی ، سیاسی و فرهنگی استفاده می شود.برای بسیاری از مردم که با ریاضیات سر و کاری ندارند، فرمول ها و قوانین ریاضی بسیار خشک و پیچیده بنظر می رسد و گاهی هم بعنوان رمز یا رازی که میان یک سری اعداد، نشانه ها و علائم عجیب و غریب است، مطرح می شود. بسیاری از مردم - حتی آنها که با ریاضی در ارتباط هستند - معتقدند که ریاضیات یک علم عقلی است و حداکثر توانایی آن مدل سازی پدیده های فیزیکی است، حال آنکه اگر به مسائل و رخدادهای اجتماعی نگاهی بیندازیم بسادگی خواهیم دید که مثلا” توزیع پدیدهای - متغییرهای - تصادفی اجتماعی غالبا” از رفتار توزیع نرمال “گوس” پیروی میکنند، بنابر این نمی توان به این صراحت از ریاضیات بعنوان یک علم نظری محض نام برد.

دايره

دايره

      زيباترين شكل از شكلهاي روي صفحه

انديشمندان يونان باستان به پيروي از انديشمندان بابلي ( در سرزمين «ميان دو رود») عيلامي ( در جنوب و جنوب غربي ايران) و مصري ( در شمال افريقا) و به ويژه افلاطون انديشمند يوناني ، زيبايي را در « تقارن» ميدانستند. به اين ترتيب ، دايره، كه متقارن ترين شكلهاست، زيباترين شكل در هندسه روي صفحه شمرده مي شود.

ظرف هاي گلي و سفالي و چوبي ( مثل كاسه و كوزه) كه از كهن ترين دوران تاريخ بشر به ما رسيده است، گرد ساخته شده اند،چرا كه گردي، هم زيباتر است و هم ساده تر به دست مي آيد.... و اين شكل ساخت ظرف ، تا امروز هم ، چيرگي خود را بر ساير شكل ها حفظ كرده است.چرخ درشكه و اتومبيل بايد دايرهاي باشد و شكل ديگري براي چرخ به سختي به تصور مي آيد. ميخ،پيچ،چرخ دنده و حتي گنبدها و نماي پيش خوان هاي ساختمان هاي قديمي، همه گرد و دايره اي شكل اند.خورشيد و ماه كامل و ستارگان، در شكل ظاهري خود ، يك دايره ي كاملند.

« دايره» واژه اي عربي است،ولي از واژه ي «دور» آمده است و هنوز ، بسياري از مردم ما ، بشقاب را ،« دوري» مي نامند.

 

السلام علیک یا ابا عبدالله الحسین

«تاريخچه مختصر رياضيات»2

«تاريخچه مختصر رياضيات»

قسمت دوم

پس از مرگ كوپرنيك مردي به نام تيكوبراهه در كشور دانمارك متولد شد. وي نشان داد كه حركت سيارات كاملاً با نمايش و تصوير دايره هاي هم مركز وفق نمي دهد. تجزيه و تحليل نتايج نظريه تيكوبراهه به يوهان كپلر كه در سال آخر زندگي براهه دستيار وي بود محول گشت. پس از سالها كار وي به نخستين كشف مهم خود رسيد و چنين يافت كه سيارات در حركت خود به گرد خورشيد يك مدار كاملاً دايره شكل را نمي پيمايند بلكه همه آنها بر روي مدار بيضي شكل حركت مي كنند كه خورشيد نيز در يكي از دو كانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاريخ رياضيات قرني عجيب و معجزه آساست. از فعالترين دانشمندان اين قرن كشيشي پاريسي به نام مارن مرسن كه مي توان وي را گرانبها ترين قاصد علمي جهان دانست. در سال 1609 گاليله رياضيات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ايتاليا تدريس مي كرد. وي يكي از واضعين مكتب تجربي است. وي قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعريف كرد. در همان اوقات كه گاليله نخستين دوربين نجومي خود را به سوي آسمان متوجه كرد در 31 مارس 1596 در تورن فرانسه رنه دكارت به دنيا آمد. نام رياضيدان بزرگ سوئيسي «پوب گولدن» را نيز بايد با نهايت افتخار ذكر كرد. شهرت وي بواسطه قضاياي مربوط به اجسام دوار است كه نام او را دارا مي باشد و در كتابي به نام مركزثقل ذكر شده. ديگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پي ير دوفرما رياضيدان بزرگ فرانسوي است كه يكي از برجسته ترين آثار او تئوري اعداد است كه وي كاملاً بوجود آورنده آن مي باشد. رياضيدان بزرگ ديگري كه در اين قرن به خوبي درخشيد ژيرارد زارك فرانسوي است كه بيشتر به واسطه كارهاي درخشانش در هنر معماري شهرت يافت و بالاخره رياضي دان ديگر فرانسوي يعني روبروال كه بواسطه ترازوي مشهوري كه نام او را همراه دارد همه جا معروف است. در اواسط قرن هفدهم كم كم مقدمات اوليه آناليز عناصر بي نهايت كوچك در تاريكي و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صداي آن به گوش مردم رسيد. بدون شك پاسكال همراه با دكارت و فرما يكي از سه رياضيدان بزرگ نيمه اول قرن هفدهم بود و نيز مي توان ارزش او را در علم فيزيك برابر گاليله دانست. در نيمه دوم قرن هفدهم رياضي بطور دقيق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذير اين دوره يعني نيوتن انگليسي، لايب نيتس آلماني و هويگنس هلندي جهان علم را روشن كرده بودند. لايب نيتس در سال 1684 با انتشار مقاله اي درباره حساب عناصر بي نهايت كوچك انقلابي برپا كرد. هوگنس نيز در تكميل ديناميك و مكانيك استدلالي با نيوتن همكاري كرد و عمليات مختلف آنها باعث شد كه ارزش واقعي حساب انتگرال در توسعه علوم دقيقه روشن شود. در قرن هجدهم ديگر تمام طوفانهاي قرن هفدهم فرو نشست و تحولات اين قرن عجيب به يك دوره آرامش مبدل گرديد. دالامبر فرانسوي آناليز رياضي را در مكانيك به كار برد و از روشهاي آن استفاده كرد. كلرو رقيب او در 18 سالگي كتابي به نام تفحصات درباره منحني هاي دو انحنايي انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله اي تهيه و به آكادمي علوم تقديم نمود كه شامل مطالب قابل توجهي مخصوصاً در مورد مكانيك آسماني و هندسه بي نهايت كوچكها بود. ديگر لئونارد اويلر رياضيدان بزرگ سوئيسي است كه در 15 آوريل 1707 م. در شهر بال متولد شد و در 17 سپتامبر 1783 م. در روسيه درگذشت. لاگرانژ از جمله بزرگترين رياضيدانان تمام ادوار تاريخ بشر است. مكانيك تحليلي او كه در سال 1788 . عموميت يافت بزرگترين شاهكار وي به شمار مي رود. لاپلاس كه در تدريس رياضي دانشسراي عالي پاريس معاون لاگرانژ بود كتابي تحت عنوان مكانيك آسماني در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ اين نابغه دانشمند وقتي كه هنوز بيست سال نداشت شاخه جديد علم هندسه به نام هندسه ترسيمي را بوجود آورد. ژان باتيست فوريه در مسأله انتشار حرارت روش بديع و جالبي اختراع كرد كه يكي از مهمترين مباحث آناليز رياضي گرديد. از ديگر دانشمندان بزرگ اين قرن سيمون دني پوآسون (1840-1781) فرانسوي و شاگرد لاپلاس مي باشد كه اكتشافات مهمي در رياضيات نمود گائوس رياضيدان شهير آلماني تئوري كامل مغناطيس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسيم نقشه ها و نمايش سطوح بر صفحات اصلي و اساسي مي باشد. كوشي فرانسوي كه در سراسر نيمه اول قرن پانزدهم بر ديگر هموطنان برتري داشت با منطق دقيق خود تئوري هاي زيادي از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال 1824 ثابت نمود كه صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هيچ دستور جبري كه بتواند معادله درجه پنجم را به نتيجه برساند وجود ندارد. گالوا كه در 26 اكتبر 1811 م. در پاريس متولد شد تئوري گروهها را كه قبلاً بوسيله كوشي و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبري به كار برد و گروه جانشيني هر معادله را مشخص كرد. ديگر از دانشمندان بزرگ اين قرن ژنرال پونسله فرانسوي مي باشد كه آثاري همچون «موارد استعمال آناليز در رياضي» و «خواص تصويري اشكال» دارد همچنين لازار كانو فرانسوي كه اكتشافات هندسي او داراي اهميت فوق العاده مي باشد. ميشل شال هندسه مطلق را با بالاترين درجه استادي به بالاترين حد ممكن ترقي داد. در نيمه اول قرن نوزدهم رياضيدان روسي نيكلاس ايوانويچ لوباچوشكي نخستين كشف خود را درباره هندسه غيراقليدسي به جامعه رياضيات و فيزيك قازان تقديم كرد. ادوارد كومرنيز در نتيجه اختراع نوعي از اعداد به نام اعداد ايده آل جايزه رياضيات آكادمي علوم پاريس را از آن خود كرد. در اينجا ذكر نام دانشمنداني نظير شارل وايرشتراس و شارل هرميت كه در مورد توابع بيضوي كشفيات مهمي نمودند ضروري است. ژرژ كانتور رياضيدان آلماني مكه در روسيه تولد يافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضيه مجموعه ها اساس هندسه اقليدسي را در هم كوفت. كانتور مجموعه را به دو صورت زير تعريف كرد:
1- اجتماع اشيايي كه داراي صفت مميزه مشترك باشند هر يك از آن اشياء را عنصر مجموعه مي گويند.
2- اجتماع اشيايي مشخص و متمايز
ولي ابتكاري و تصوري هنري پوانكاره يا غول فكر رياضي آخرين دانشمند جهاني است كه به همه علوم واقف بود. وي در بيست و هفت سالگي بزرگترين اكتشاف خود يعني توابع فوشين را به دنياي دانش تقديم نمود. بعد از پوانكاره رياضيدان سوئدي متياگ لفلر كارهاي او را ادامه داد و سپس رياضيدان نامي فرانسوي اميل پيكارد در اين راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فيزيك رياضي به منتها درجه تكامل خود رسيد و دانش نجوم مكانيك آسماني تكميل گرديد. امروزه رياضيات بيش از پيش در حريم ساير علوم نفوذ كرده و نه فقط علوم نجوم و فيزيك و شيمي تحت انضباط آن درآمده اند بلكه اصولاً رياضيات دانش مطلق و روح علم شده است

«تاريخچه مختصر رياضيات» 1

«تاريخچه مختصر رياضيات»

  قسمت اول                                                                            

انسان اوليه نسبت به اعداد بيگانه بود و شمارش اشياء اطراف خود را به حسب غريزه يعني همانطور كه مثلاً مرغ خانگي تعداد جوجه هايش را مي داند انجام مي داد اما به زودي مجبور شد وسيله شمارش دقيق تري بوجود آورد لذا به كمك انگشتان دست دستگاه شماري پديد آورد كه مبناي آن 60 بود. اين دستگاه شمار كه بسيار پيچيده مي باشد قديمي ترين دستگاه شماري است كه آثاري از آن در كهن ترين مدارك موجود يعني نوشته هاي سومري مشاهده مي شود. سومريها كه تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از ميلاد مسيح است در جنوب بين النهرين يعني ناحيه بين دو رود دجله و فرات ساكن بودند. آنها در حدود 2500 سال قبل از ميلاد با امپراطوري سامي عكاد متحد شدند و امپراطوري و تمدن آشوري را پديد آوردند. نخستين دانشمند معروف يوناني طالس ملطلي (639- 548 ق. م.) است كه در پيدايش علوم نقش مهمي به عهده داشت و مي توان وي را موجد علوم فيزيك، نجوم و هندسه دانست. در اوايل قرن ششم ق. م. فيثاغورث (572-500 ق. م.) از اهالي ساموس يونان كم كم رياضيات را بر پايه و اساسي قرار داد و به ايجاد مكتب فلسفي خويش همت گماشت. پس از فيثاغورث بايد از زنون فيلسوف و رياضيدان يوناني كه در 490 ق. م. در ايليا متولد شده است نام ببريم. در اوايل نيمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالي كيوس قضاياي متفرق آن زمان را گردآوري كرد و در حقيقت همين قضايا است كه مباني هندسه جديد ما را تشكيل مي دهند. در قرن چهارم قبل از ميلاد افلاطون در باغ آكادموس در آتن مكتبي ايجاد كرد كه نه قرن بعد از او نيز همچنان برپا ماند. اين فيلسوف بزرگ به تكميل منطق كه ركن اساسي رياضيات است همت گماشت و چندي بعد منجم و رياضي دان معاصر وي ادوكس با ايجاد تئوري نسبتها نشان داد كه كميات اندازه نگرفتني كه تا آن زمان در مسير علوم رياضي گودالي حفر كرده بود هيچ چيز غيرعادي ندارد و مي توان مانند ساير اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به كار برد. در قرن دوم ق. م. نام تنها رياضي داني كه بيش از همه تجلي داشت ابرخس يا هيپارك بود. اين رياضيدان و منجم بزرگ گامهاي بلند و استادانه اي در علم نجوم برداشت و مثلثات را نيز اختراع كرد. بطلميوس كه به احتمال قوي با امپراطوران بطالسه هيچگونه ارتباطي ندارد در تعقيب افكار هيپارك بسيار كوشيد. در سال 622 م. كه حضرت محمد (ص) از مكه هجرت نمود در واقع آغاز شكفتگي تمدن اسلام بود. در زمان مأمون خليفه عباسي تمدن اسلام به حد اعتلاي خود رسيد به طوري كه از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن يازدهم زبان عربي زبان علمي بين المللي شد. از رياضيدانان بزرگ اسلامي اين دوره يكي خوارزمي مي باشد كه در سال 820 به هنگام خلافت مأمون در بغداد كتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت. ديگر ابوالوفا (998-938) است كه جداول مثلثاتي ذيقيمتي پديد آورد و بالاخره محمد بن هيثم (1039-965) معروف به الحسن را بايد نام برد كه صاحب تأليفات بسياري در رياضيات و نجوم است. قرون وسطي از قرن پنجم تا قرن دوازدهم يكي از دردناكترين ادوار تاريخي اروپاست. عامه مردم در منتهاي فلاكت و بدبختي به سر مي بردند. برجسته ترين نامهايي كه در اين دوره ملاحظه مي نماييم در مرحله اول لئونارد بوناكسي (1220-1170) رياضيدان ايتاليايي است. ديگر نيكلاارسم فرانسوي مي باشد كه بايد او را پيش قدم هندسه تحليلي دانست. در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ايتاليايي و شاگردان آلماني آنها در حساب عددي جبر و مكانيك ترقيات شايان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصي به نام فرانسوا ويت (1603-1540م) به پيشرفت علوم رياضي خدمات ارزنده‌اي نمود. وي يكي از واضعين بزرگ علم جبر و مقابله جديد و در عين حال هندسه دان قابلي بود. كوپرنيك (1543-1473) منجم بزرگ لهستاني در اواسط قرن شانزدهم دركتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسماني منظومه شمسي را اين چنين ارائه داد:
1- مركز منظومه شمسي خورشيد است نه زمين.
2- در حاليكه ماه به گرد زمين مي چرخد سيارات ديگر همراه با خود زمين به گرد خورشيد مي چرخند.
3- زمين در هر 24 ساعت يكبار حول محور خود مي چرخد، نه كره ستاره هاي ثابت.

سکه های تقلبی

معما۱

۱۲سکه داریم که یکی از آنها تقلبی است(معلوم نیست سنگین تر از بقیه است یا سبکتر)میخواهیم با سه بار وزن کردن اون سکه تقلبی رو پیدا کنیم چطور ممکن است؟  .

                   

هندسه كاواليري

هندسه كاواليري

بوتاون تورا کاوالیری (۱۵۶۴-۱۶۴۲) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال ۱۶۳۵، با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید.

غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.

برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.

اصل کاوالیری درباره مساحت

اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.

با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.

اصل کاوالیری در باره حجم ها

دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.

خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»

این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.

کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.

ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.

طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد…

به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.

یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.

رابطه

                   رابطه زیباشناسی ریاضی
نامنتظر بودن + عینی بودن = زیبایی

این رابطه به فرهنگ ریاضی مربوط می‌شود و کسی که چنین فرهنگی دارد، دید گسترده‌تری دارد، با کمترین نشانه‌ها ، شباهت بین زمینه‌های مختلف ریاضی را پیدا می‌کند و به کشف رابطه بین آنها و فرمول‌بندی و استفاده از روابط گوناگون بین آنها می‌پردازد. و بدین ترتیب مساله را نامتعارف‌تر و زیباتر از بقیه حل می‌کند و با ساده‌ترین و کوتاه‌ترین و در عین حال جالب‌ترین روش به جواب مساله می‌رسد و موجب شگفتی و لذت خود و بقیه می‌گردد.

زيبايي مسائل رياضي

زیبایی مسایل ریاضی
برای بسیاری از مسایل ریاضی راه حلهای عادی وجود دارد که وقتی اینگونه مسایل را (با این روشها) حل می‌کنید، هیچ احساس خاصی به شما دست نمی‌دهد و حتی ممکن است تکرار آن شما را کسل کند. ولی وقتی به مساله‌ای برمی‌خورید که همچون دری مستحکم در برابر شما پایداری می‌کند و از هر سمتی به آن حمله می‌کنید ناکام می‌شوید… زمانی که ناگهان جرقه‌ای ذهن شما را روشن می‌کند… عجب!… پس اینطور!… چه زیبا!… و مساله حل می‌شود. در ریاضیات اغلب از اصطلاح زیباترین راه حل یا زیبایی راه حل استفاده می‌کنیم. ولی چرا یک راه حل مساله ما را تنها قانع و راضی می‌کند در حالی که دیگری شوق ما را برمی‌انگیزد و شجاعت فکر و ظرافت روش را آن موجب شگفتی ما می‌شود؟ راه حل زیبا باید تا حدی ما را به شگفتی وا دارد ولی تنها وجود یک جنبه نامتعارف و غیر عادی زیبایی استدلال ریاضی را روشن نمی‌کند، بلکه باید عینیت نیز داشته باشد.

هم ریختی نمونه با پدیده مورد نظر و سادگی درک نمونه و سادگی کار کردن با آن ، مفهوم عینی بودن را تشکیل می‌دهد. با بکار گرفتن عینیت ، زبان دشوار پدیده را به زبان ساده‌تر مدل عینی ترجمه می‌کنیم و نتایج لازم را بدست می‌آوریم.وقتی که دانش آموزی می‌خواهد به تنهایی مساله دشواری را حل کند نمونه عینی پدیده‌ای را باید در مساله شرح دهد، برای خودش بسازد، دشواری مساله‌های نامتعارف در این هست که برای حل آنها باید بطور مستقل نمونه همریخت (مساله هم ارز) را انتخاب کرد به نحوی که از پدیده نخستین ساده‌تر باشد. نامتعارف بودن این نمونه و نامنتظر بودن آن به معنای زیبایی و ظرافت راه حل است. زیبایی حل یک مساله را وقتی احساس می‌کنیم که به کمک یک نمونه عینی بدست آید و در ضمن نامنتظر باشد که بطور مستقیم به ذهن هر کسی نمی‌رسد و به زحمت در دسترس قرار می‌گیرد.

كليد طلايي

ریاضیات کلید طلایی برای زیبایی شناسی
طبیعت عنصر تقارن را عنوان نشانه زیبایی به هنرمند تلقین می‌کند و سپس ریاضی‌دان با کشف قانونمندیهای تقارن به مفاهیم شبه تقارن , تقارن لغزنده می‌رسد و کوبیسم را به هنرمند (نقاش ، شاعر یا موسیقی‌دان) تلقین می‌کند. نغمه‌ها و آواهای موجود در طبیعت الهام دهنده ترانه‌های هنرمندان بوده و ریاضیدانان با کشف قانونهای ریاضی حاکم بر این نغمه‌ها و تلاش در جهت تغییر و ترکیب آنها گونه‌های بسیار متفاوت و دل انگیزی در موسیقی آفریده‌اند. هر زمان که محاسبه درست ریاضی در نوشته‌های ادبی رعایت شده، آثار جالب و ماندگار و نزدیک به واقعیت و قابل قبول برای مخاطب خلق شده است. یکی از نمونه‌های این مساله رعایت توجه صحیح آندره یه ویچ در افسانه ثروتمند فقیر به محاسبات ریاضی در داستان خود می‌باشد (البته بدون وارد کردن محاسبات عددی) که آن را به اثری ماندگار و قابل پذیرش تبدیل کرده است. ترسیمهای هندسی و نسبت زرین کمک شایانی به هنرمندان معمار و برج ساز و … می‌کند.
زیبایی ریاضیات در کجاست؟
در واقع تمامی عرصه ریاضیات سرشار از زیبایی و هنر است. زیبایی ریاضیات را می توان در شیوه بیان موضوع ، در طرز نوشتن و ارایه آن در استدلالهای منطقی آن ، در رابطه آن با زندگی و واقعیت ، در سرگذشت پیدایش و تکامل آن و در خود موضوع ریاضیات مشاهده کرد. یکی از راههای شناخت زیباییهای ریاضیات (بخصوص هندسه) آگاهی بر نحوه پیشرفت و تکامل است. جنبه دیگری از زیبایی ریاضیات این است که با همه انتزاعی بودن خود ، بر همه دانشها حکومت می‌کند و جز قانونهای آن ، همچون ابزاری نیرومند دانشهای طبیعی و اجتماعی را صیقل می‌دهد، به پیش می‌برد، تفسیر می‌کند و در خدمت انسان قرار می‌دهد.

تاريخچه

تاریخچه ارتباط ریاضیات و هنر
در دوران رنسانس ، نقاشان بزرگ ، ریاضی‌دان هم بودند. آلبرتی (۱۴۷۲ - ۱۴۰۴) نخستین نیاز نقاش را هندسه می‌دانست. او بود که در سال ۱۴۳۵ میلادی ، اولین کتاب را درباره پرسپکتیو نوشت. نقاشان و هنرمندان برای جان دادن به تصویرها و القای فضای سه بعدی به آثار خود ، به ریاضیات روی آوردند. بنابراین همه نقاشان دوره رنسانس نظیر آلبرتی ، دیودر ، لیوناردو داوینچی ، ریاضی‌دانانی هنرمند یا هنرمندانی ریاضی‌دان بودند. دزارک که خود ، معماری هنرمند بود به خاطر همین نیاز نقاشان و با اثبات قضیه‌ای که به نام خود او معروف است، هندسه تصویری را بنیان نهاد و بعد از آن رفته رفته اصول بیشتری از ریاضیات تایید شد.
چرا ریاضیات و هنر تا این اندازه به هم نزدیکند؟
طبیعت ، سرچشمه زاینده و بی‌پایانی است برای انگیزه دادن به هنرمند و ریاضی‌دان. آنها از درون خود و از ایده‌ها سود می‌جویند و حقیقت را نه تنها آن گونه که مشاهده می‌شود، بلکه آن که باید باشد و آرزوی آدمی است، می‌بینند. هنر و ریاضیات هر دو کمال و ایده‌آل را می‌جویند.

چند جمله(1)

کم نیستند کسانی که ریاضیات را دانشی دشوار و دست نیافتنی و در ضمن خشک و خشن می پندارند و به همین مناسبت ریاضیدان و معلم ریاضی را فردی عبوس و بی احساس و بی ذوق میپندارند و از اینکه کسی که سر و کار و رشته اش ریاضیات است اهل ذوق و هنر وشعر و موسیقی باشد و از آن لذت ببرد متحیر می شوند. آیا به واقع هنر وریاضیات یا به عبارت دیگر زیبایی و ظرافت و ریاضی دو مقوله ی متضاد و دور از هم و ناسازگارند؟آیا علاقه به ریاضیات و تخصص داشتن در آن به معنای بی ذوقی و بی احساسی و دور بودن از زندگی است؟

انسان ترکیبی از احساس و عاطفه و تاثیر پذیری از یک طرف و اندیشه و خرد و داوری منطقی از طرف دیگر است.در واقع انسان محموعه ای یگانه ازجان وخرد است. احساس و منطق را با هیچ نیرویی نمیتوان از هم جدا کرد. به قول هوشنگ ابتهاج عشق فرزانگی و دیوانگی است. هر انسانی از تماشای چشم انداز یک دامنه سرسبز آرامش می یابد ودر عین حال به تفکر فرو می رود. شاعر احساس درونی خود را با شعر و نقاش با قلم و بوم بیان میکند.

گیاه شناس در پی گیاه مورد نظر خود وزبان شناس در پی یافتن ریشه نامگذاری گیاه و دارو شناس در جستجوی ویژگیهای درمانی آن است و ریاضیدان نحوه قرار گرفتن برگ و گلبرگها یا اندازه ها و شکلها را مورد مطالعه قرار میدهد.ولی هم گیاه عضوی یگانه است و هم انسان .پس علت این گوناگونی در رابطه بین انسان و گیاه وجود جنبه های گوناگون گسترده انسان و تجلی آنها است.

سؤال جبر

حل يك سؤال از جبر

نشان دهيد هر زيرمجموعه 6 عضوي از مجموعه {9و...و3و2و1} حد اقل دو عضو دارد كه مجموع آنها 10 است.

پاسخ:      

 مجموعه ي {(6و4)،(7و3)،(8و2)،(9و1)}=‌‌‌A شامل زوج اعدادي است كه

 مجموعشان 10 است.

در اين صورت بنابر اصل لانه كبوتري حداقل 2 عدد از اين 6 عدد انتخاب شده

 در يكي از اين خانه ها قرار ميگيرد كه مجموعشان 10 است.

                                                                                          

سؤال

آیا میتوانید؟

با یک بار استفاده از ارقام ۱ و۲و۳و...و۹ مربعی تشکیل دهید که بر ۹۹ قابل قسمت باشد؟