سؤال:ثابت کنید مجموعه اعداد طبیعی جالبه.(اثبات بروش استقراء)
جواب:یک-اولین عدد طبیعی است پس جالبه.دوتنهاعدداول زوج طبیعی است پس جالبه.
فرض استقرا: ا گر nعدد جالبی باشد
حکم استقرا: ثابت میکنیم n+1 عددجالبی است.
اثبات: فرض کنیدn+1 جالب نباشد . درآن صورت اولین عدد طبیعی خواهد بودکه جالب نیست درنتیجه
n+1 به عنوان اولین عدد طبیعی ناجالب ،جالب خواهدبود. پس مجموعه اعداد طبیعی جالبه.
منبع: وبلاگ رياضي و اجتماع
اصلا چه معنی میده بیش تر از 100 درصد ؟
چطوری میشه به بیشتر از 100 درصد دست پیدا کرد ؟
100 درصد تو زندگی چه معنی ای میده ؟
اینجا یه فرمول کوچیک ریاضی هست که ممکنه کمکتون کنه ؟
اگر :
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
میشه جاش شمارشو نوشت :
1234567891011121314151617181920212223242526
اگر :
H A R D W O R K
8+1+18+4+23+15+18+11
اعداد رو جمع بزنید !!! جمعشون میشه 98
و:
K N O W L E D G E
11+14+15+23+12+5+4+7+5
دوباره اعداد رو جمع بزنید !!! جمعشون میشه 96
اما :
A T T I T U D E
1+20+20+9+20+21+4+5
این بار که اعداد رو جمع می زنید می بینید که میشه 100
حالا ببینید عشق به خدا شما رو به چه عددی میرسونه :
L O V E O F G O D
12+15+22+5+15+6+7+15+4
بنابراین ، بر اساس ریاضی میشه اینطوری نتیجه گیری کرد که :
وقتی که کار سخت و دانایی شما رو بهش نزدیک میکنه ، طرز برخورد شما رو بهش میرسونه و لی عشق به خداست که شما رو به بالای همه اینها میرسونه !!!
منبع:وبلاگ کلاس ریاضی
منبع: مجتمع سپهر
|
يكي از صدها پژوهش نو كه ميتوان بر اهل دانش ايران عرضه داشت،اين است كه در اوراق كتب علمي دوران طلايي اسلام بيشتر جستجو كنيم وببينيم چه ميزان از افكار علماي اسلامي در ذهن دانشمندان بزرگ مانند نيوتن، دكارت، لايب نيتز، برنولي، هويگنز، كوشي، فرما، گاليله، پاسكال، لئوناردوداوينچي، اثر گذارده است. پروفسور رضا |
هیچ اندیشه یا نظریه ای نمی تواند به اندازه تجربه شخصی خودتان به شما یاری برساند.
یک مساله ای را که خودتان حل کنید خیلی بیشتر ازبیست مساله ای که راه حل آنها را از دوستانتان آموخته اید و یا در کتاب خوانده اید
می تواند سودمند باشد.
تاكنون در هندسه از اصولي استفاده مي كرديم كه اقليدس آن ها را درحدود ۳۰۰ سال پيش از ميلاد مسيح براي اولين بار در كتاب “اصول” خود جمع آوري كرده بود. از آن جائي كه اين اصول بديهي به نظر مي رسيدند، آن ها را بدون اثبات پذيرفت و سپس ير اساس اين اصول قضايا را اثبات مي كرد. لذا به اين نوع هندسه، هندسه ي اقليدسي گويند. پنج اصل مهم هندسه ي اقليدسي عبارتند از:
۱-از هر دو نقطه ی مشخص فقط یک خط راست می گذرد.
۲-هر پاره خط رامی توان به میزان دلخواه امتداد داد.
۳-با هر نقطه و هر طولی می توان دایره ای به مرکز آن نقطه و به شعاع آن طو ل رسم كرد.
۴-همه ي زواياي قائمه با هم برابرند.
۵- از هر نقطه خارج یک خط فقط یک خط موازی با خط مذکور می توان رسم کرد.( اين اصل كه “اصل توازي” نام دارد، معادل با اصل پنجم اقليدس است و در اين جا به منظور درك بهتر، به جاي اصل پنجم اقليدس معادل آن ذكر شده است. براي مطالعه اصل پنجم به كتاب “هندسه هاي اقليدسي و نا اقليدسي” تاليف گرينبرگ مراجعه كنيد.)
در فضای اطرافمان که در آن زندگی می کنیم همه ی این اصول درست خواهد بود. اما آيا در هر سطحي با هر ويژگي، اين اصول صادق خواهند بود؟
رياضيدانان، ساليان درازي در طول تاريخ، تنها با هندسه ي اقليدسي آشنا بودند تا اين كه در حدود ۲۰۰ سال پیش دریافتند، با تغییر کوچکی در اصول اقليدس می توان انواع جدیدی از هندسه را معرفی کرد. همچنين ثابت كردند كه هندسه هاي جديد، همانند هندسه ی اولیه (هندسه ي اقليدسي) صحیح مي باشند و با توجه به موقعيت و نوع فضا، بايد از يكي از انواع هندسه استفاده كرد.
قابل توجه است که تلاش دانشمندان ایرانی از جمله خواجه نصیر الدین طوسی، به ایجاد این شاخه از هندسه کمک زیادی کرده است.
می اندیشم پس هستم - مروری بر دکارت و فلسفه او
رنه دکارت علاوه بر فیلسوف از ریاضیدانان و فیزیکدانان بزرگ عصر رنسانس نیز بوده است، طوریکه او را پدر هندسه تحلیلی نیز نامیده اند. او در ۳۱ مارس ۱۵۹۶ در فرانسه به دنیا آمد و پس از طی دوره تحصیلی هشت ساله در بیست سالگی به جهان گردی پرداخت و از آن پس به قول خودش کوشید در پی خرد برود. از این رو به ارتش هلند پیوست و به جنگ رفت و بدین ترتیب اوقاتی از عمر را در قسمتهای گوناگون اروپا گذراند در ۱۶۲۹ باز هم روانه هلند شد و نزدیک بیست سال در آنجا و در آرامش به تحقیقات خود پرداخت. تحقیقات دکارت بیشتر تجربه و تفکر شخصی بود، او کمتر از کتاب و نوشته استفاده می کرد و این ما را یاد سقراط می اندازد که در کوچه های آتن قدم می زد و با هر کس به بحث و فلسفه می پرداخت و هیچ گاه چیزی از خود ننوشت!
دکارت در سپتامبر ۱۶۴۹ به دعوت ملکه سوئد برای تعلیم فلسفه خویش به دربار وی در استکهلم رفت اما شرایط آب و هوا و همینطور نوع زندگی که دکارت به آن عادت نداشت او را به بیماری ذات الریه مبتلا ساخت و در ۱۱ فوریه ۱۶۵۰ در همان جا در گذشت.عصری که دکارت در آن می زیست به عصر شکاکیت نیز معروف می باشد و نمایان است که “شک” نه تنها اعتقادات دینی را متزلزل می کند بلکه آسایش و آرامش زندگی را نیز مختل می کند. دکارت نیز که به دیانت مسیحی معتقد و به گفته خودش وجود خداوند را همچون قضایای ریاضی بدیهی می دانست برای بر انداختن شکاکیت و رهانیدن اعتقادات و علوم از چنگال شک به تاسیس فلسفه جدیدی پرداخت، بهمین خاطر او را پدر فلسفه نو نیز نامیده اند.
او همانند ارشمیدس که معتقد بود: “برای اینکه بتواند کره خاکی را از جا بر کند و به مکان دیگر منتقل کند تنها نیازمند یک نقطه ثابت و ساکن بود”، به دنبال نقطه ای ثابت می گشت تا بر آن تکیه کند. از اینرو دکارت می گوید: “در ابتدا باید به همه چیز شک کرد” او نمی خواست قدم اول و پایه بنا را بر جای سست قرار دهد. و در ادامه این شک او از این هم فراتر می رود و می گوید: “حتی به حواسمان نیز نمی توانیم اعتماد کنیم، حواسمان ممکن است ما را بفریبند.” اما در این میان تنها چیزی که برای او مسلم بود همین شک کردن او بود. این شک تنها چیزی بود که او یقین داشت و وقتی شک می کند، حتما می اندیشد و چون می اندیشد حتما موجودی اندیشنده است! و یا به گفته خود او: “می اندیشم، پس هستم”. او می گوید: وقتی من حکم می کنم که شیءی هست یا موجود است چرا که آنها را می بینم، قطعا با بداهت بیشتری لازم می آید که خود من که شی را میبینم، وجود داشته باشم چون ممکن است آنچه من می بینم در واقع آن شی نباشد، همچنان که ممکن است من حتی چشمی نداشته باشم که چیزی را ببیند ولی محال است وقتی می بینم یا فکر می کنم که می بینم (فرقی نمی کند) خود من که فکر می کنم معدوم باشم.”
او این نقطه ثابت را بدست آورده بود و در ادامه از این نقطه پیش تر می رود و به اثبات و جود خداوند، تجرد نفس، بیان ماهیت خطا، بیان ماهیت ماده و به اثبات عالم خارج می پردازد، که اینها همه در رساله تاملات او جمع آوری شده است.
تاملات نه تنها بهترین اثر دکارت بلکه بهترین و مهمترین اثر قرن هفدهم به شمارمي آيد.
وجود خدا در نظر دکارت همانند ” هر که اندیشید پس هست” خود - بدیهی بود. او می گفت: تصور وجود کامل را همه ما داریم و لازمه چنین تصوری آن است که باید وجود کاملی وجود داشته باشد چون وجود کامل اگر وجود نمی داشت کامل نمی بود، در ضمن اگر وجود کاملی در میان نبود تصور آن نیز به ذهنمان راه نمی یافت! به گفته دکارت تصور خدا در ذات ماست. این تصور از وقتی که بدنیا می آییم و مثل علامتی که سازنده روی فرآورده خود می گذارد بر ما نقش شده است. چرا که تصور کمال از انسان بی کمال ممکن نیست
به گونه اي منظم به پژوهش در باب معادلات جبري از
درجه اول و دوم وسوم پرداخته است وطبقه بندي نسبتــاً
جامع از آنها ارائه داده
و با شيوه اي هندسي اقدام به حل معادلات نموده است
مهندسان هخامنشی راز استفاده از عدد پی (14/3 ) را دو هزار و 500 سال پیش کشف کرده بودند. آنها در ساخت سازه های سنگی و ستون های مجموعه تخت جمشید که دارای اشکال مخروطی است، از این عدد استفاده می کردند.
عدد پی( ۳.۱۴)در علم ریاضیات از مجموعه اعداد طبیعی محسوب می شود. این عدد از تقسیم محیط دایره بر قطر آن به دست می آید. کشف عدد پی جزو مهمترین کشفیات در ریاضیات است. کارشناسان ریاضی هنوز نتوانسته اند زمان مشخصی برای شروع استفاده از این عدد پیش بینی کنند. عده زیادی، مصریان و برخی دیگر، یونانیان باستان را کاشفان این عدد می دانستند اما بررسی های جدید نشان می دهد هخامنشیان هم با این عدد آشنا بودند.
«عبدالعظیم شاه کرمی» متخصص سازه و ژئوفیزیک و مسئول بررسی های مهندسی در مجموعه تخت جمشید در این باره، گفت: «بررسی های کارشناسی که روی سازه های تخت جمشید به ویژه روی ستون های تخت جمشید و اشکال مخروطی انجام گرفته؛ نشان می دهد که هخامنشیان دو هزار و 500 سال پیش از دانشمندان ریاضی دان استفاده می کردند که به خوبی با ریاضیات محض و مهندسی آشنا بودند. آنان برای ساخت حجم های مخروطی راز عدد پی را شناسایی کرده بودند.»
دقت و ظرافت در ساخت ستون های دایره ای تخت جمشید نشان می دهد که مهندسان این سازه عدد پی را تا چندین رقم اعشار محاسبه کرده بودند. شاه کرمی در این باره گفت: «مهندسان هخامنشی ابتدا مقاطع دایره ای را به چندین بخش مساوی تقسیم می کردند. سپس در داخل هر قسمت تقسیم شده، هلالی معکوس را رسم می کردند. این کار آنها را قادر می ساخت که مقاطع بسیار دقیق ستون های دایره ای را به دست بیاورند. محاسبات اخیر، مهندسان سازه تخت جمشید را در محاسبه ارتفاع ستون ها، نحوه ساخت آنها، فشاری که باید ستون ها تحمل کنند و توزیع تنش در مقاطع ستون ها یاری می کرد. این مهندسان برای به دست آوردن مقاطع دقیق ستون ها مجبور بودند عدد پی را تا چند رقم اعشار محاسبه کنند.»
هم اکنون دانشمندان در بزرگ ترین مراکز علمی و مهندسی جهان چون «ناسا» برای ساخت فضاپیماها و استفاده از اشکال مخروطی توانسته اند عدد پی را تا چند صد رقم اعشار حساب کنند. بر اساس متون تاریخ و ریاضیات نخستین کسی که توانست به طور دقیق عدد پی را محاسبه کند، «غیاث الدین محمد کاشانی» بود. این دانشمند اسلامی عدد پی را تا چند رقم اعشاری محاسبه کرد. پس از او دانشمندانی چون پاسکال به محاسبه دقیق تر این عدد پرداختند. هم اکنون دانشمندان با استفاده از رایانه های بسیار پیشرفته به محاسبه این عدد می پردازند.
شاه کرمی با اشاره به این موضوع که در بخش های مختلف سازه تخت جمشید، مقاطع مخروطی شامل دایره، بیضی، و سهمی دیده می شود، گفت: «به دست آوردن مساحت، محیط و ساخت سازه هایی با این اشکال هندسی بدون شناسایی راز عدد پی و طرز استفاده از آن غیرممکن است.»
داریوش هخامنشی بنیان گذار تخت جمشید در سال 521 پیش از میلاد دستور ساخت تخت جمشید را می دهد و تا سال 486 بسیاری از بناهای تخت جمشید را طرح ریزی یا بنیان گذاری می کند. این مجموعه باستانی شامل حصارها، کاخ ها، بخش های خدماتی و مسکونی، نظام های مختلف آبرسانی و بخش های مختلف دیگری است.
مجموعه تخت جمشید مهمترین پایتخت مقاومت هخامنشی در استان فارس و در نزدیکی شهر شیراز جای گرفته است.
بازخواني دست نوشته ارشميدس
بيست و دو قرن پيش، ارشميدس رياضيدان بزرگ يونان، مقاله اي نوشت كه استوماكيون (Stomachion) نام گرفت. اين مطلب برخلاف ديگر نوشته هاي ارشميدس خيلي زود به ورطه فراموشي سپرده شد، چرا كه پس از ارشميدس كسي منظور اين مقاله را درك نكرد. اما پس از گذشت ۲۲۰۰ سال از آن زمان، رياضيداني كه روي مسائل تاريخي تحقيق مي كند، راز دستنوشته ارشميدس را كشف كرد. اين دانشمند با بررسي يكي از قديمي ترين دستنوشته هايي كه راهبان مذهبي در چند صد سال پيش نوشته بودند، معماي به جامانده از ارشميدس را حل كرد. با اين كشف پنجره اي نو به يكي ديگر از آثار نابغه بزرگ گشوده شد. نابغه اي كه وقتي روش زيركانه اي براي تعيين خالص بودن طلاي تاج پادشاه پيدا كرد، ناگهان فرياد زد: «يافتم». كرد، ناگهان فرياد زد: «يافتم».
كاشف معماي
دكتر ريويل نتس (Reviel Netz) كاشف معماي اخير ارشميدس مي گويد: مبحث استوماكيون، در زماني كه ارشميدس آن را نوشته بود بسيار پيچيده تر و فراتر از زمان خود بود. اين مبحث مربوط به تركيبات مي شود، زمينه اي كه تا ظهور علوم كامپيوتري جايگاه واقعي خود را به دست نياورده بود. هدف از بحث تركيبات مشخص كردن اين است كه يك مسئله به چند روش قابل حل است. پيدا كردن تعداد راه حل ها براي مسئله مطرح شده توسط ارشميدس بسيار سخت بود. براي پيدا كردن جواب مسئله، دكتر نتس از يك گروه چهار نفره كه متخصص تركيبات بودند، كمك گرفت. اين گروه براي حل مسئله ۶ هفته كار كردند، با اين وجود نتايج به دست آمده با قطعيت كامل همراه نبودند، به همين خاطر از گروه ديگري كمك گرفته شد و پس از آنكه گروه دوم نيز نتايج قبلي را به دست آوردند، دكتر نتس قانع شد كه جواب درست را پيدا كرده است. صبح يكي از روزهاي برفي در دانشگاه پرينستون، چندين استاد دانشگاه براي شنيدن سخنراني دكتر نتس گردهم آمده بودند. حاضرين در جلسه كه اكثراً متخصصين همين زمينه بودند پس از پايان سخنراني دو ساعته دكتر نتس، قانع شده بودند كه نتايج به دست آمده درست هستند و به او تبريك مي گفتند. از ميان تمام آثار ارشميدس، استوماكيون كمترين توجه را به خود جلب كرده است. اين بحث در واقع به خاطر نامفهوم بودنش، ناديده گرفته شده و يا كم اهميت تلقي شده بود. از اين مقاله فقط قسمت كوچكي سالم بر جاي مانده و بقيه بر اثر كپك زدگي از ميان رفته بود. با وضع موجود بعيد به نظر مي رسيد كه كسي بتواند سر از آن نوشته ها دربياورد. اين مقاله در واقع شبيه به يك بازي قديمي كودكانه بود، نوعي جورچين (پازل) كه از كنار هم گذاشتن اجزاي مختلف آن شكل هاي گوناگوني ايجاد مي شود. اما ما مي دانيم كه ارشميدس دانشمندي نبوده كه به كارهاي بازيچه مانند پرداخته باشد. لذا قصد او از كنار هم گذاشتن تكه هاي كوچك كاغذ، به دست آوردن اشكال مختلف نبوده است.
در واقع ارشميدس در پي پاسخ براي سئوالي مهم بوده است: چند حالت وجود دارد كه اگر ۱۴ تكه ناهمگون را كنار هم قرار دهيم، تشكيل يك مربع مي دهند. پاسخ اين سئوال عدد ۱۷۱۵۲ است كه به دست آوردن آن نيازمند دقت بالا و پيگيري نظام مند است. دكتر پرسي داياكونيس(Rersi Diaconis) كه به همراه چند دانشمند ديگر روي اين پروژه كار مي كرد، مي گويد: به دست آوردن اين عدد با امكانات امروزي نيز بسيار سخت بود و ما براي پيدا كردن اين عدد يك تيم تشكيل داديم. دكتر ويليام كاتلر از دانشگاه شيكاگو در يك تحقيق جداگانه، برنامه كامپيوتري اي نوشت كه تأييد مي كرد عدد به دست آمده درست است. البته از دستنوشته هاي ارشميدس همانند ديگر دانشمندان قديمي، نسخه هاي اصلي بر جاي نمانده است. در واقع نوشته هاي موجود، رونوشتي از رونوشت نسخه اصلي هستند. محققان اين دستنوشته ها را براساس مطابقت آنها با ديگر اسناد موجود و همچنين ميزان قدمت آنها ارزش گذاري مي كنند. محققان اين اثر را غير قابل قيمت گذاري اعلام كردند و تنها گفتند كه بسيار نفيس و گرانبهاست. اما افسوس كه اين دستنوشته به خاطر پوسيدگي ناشي از گذشت زمان، تقريباً از ميان رفته است. در قرن سيزدهم راهبان مسيحي هرگاه كه براي نوشتن كتاب هاي مذهبي با مشكل مواجه مي شدند از پوست هاي قديمي استفاده مي كردند. در آن زمان پوستي را كه حاوي دستنوشته ارشميدس بود پاره كرده اند، نوشته هاي قبلي را شسته اند و روي پوست را با نوشته هاي مذهبي بازنويسي كرده اند. از اين دستنوشته چندين سال به عنوان كتاب دعا استفاده مي شد تا اينكه كتاب فرسوده مي شود و آن را در صومعه اي واقع در استانبول به كناري مي گذارند.
جان لودويگ هايبرگ (John Ludvig Heiberg) در سال ۱۹۰۶ اين دستنوشته را در كتابخانه يك كليسا در شهر استانبول پيدا كرد و متوجه شد كه در زير نوشته هاي مذهبي كتاب، نوشته هاي كم رنگ ديگري وجود دارد كه به رياضيات مربوط مي شوند. هايبرگ با استفاده از يك ذره بين هر آنچه را كه مي توانست، يادداشت كرد و تقريباً از دو سوم صفحات كتاب عكسبرداري كرد. پس از آن، كتاب مذكور به همراه ديگر دستنوشته هاي موجود در كتابخانه بر اثر نزاعي كه ميان ترك ها و يوناني ها در گرفت ناپديد شد، تا اينكه دوباره در سال ۱۹۷۰ در دست يك خانواده فرانسوي مشاهده شد. اين خانواده دستنوشته را در سال ۱۹۲۰ از استانبول خريده و ۵۰ سال نگه داشته بودند. هنگامي كه اين خانواده فرانسوي خواستند كه كتاب را به فروش برسانند با مشكل مواجه شدند. از يك طرف ابهاماتي وجود داشت مبني بر اينكه آيا خانواده مذكور صاحب قانوني دستنوشته هستند و از طرف ديگر كتاب بر اثر كپك زدگي وضع آشفته اي پيدا كرده بود و در آستانه تخريب كامل قرار داشت. سرانجام در سال ۱۹۸۸ يك ميلياردر گمنام اين كتاب را به مبلغ ۲ ميليون دلار خريد و آن را به موزه هنري والتر اهدا كرد. اين اثر هنوز هم در اين موزه قرار دارد. دكتر نتس درباره چگونگي خواندن نوشته هاي كتاب مي گويد: وضع كار به طرز باورنكردني غيرعادي بود. گروه كوچكي از دانش پژوهان شروع به بازسازي متن يوناني كرده بودند. كار اصلاً آسان نبود. با چشم غير مسلح هيچ چيزي مشاهده نمي شد. با استفاده از نور ماوراي بنفش آثار ضعيفي از يك نوشته قديمي پديدار شد. اما متن آشكار شده هم شامل متن رياضي بود و هم نوشته هاي مذهبي را در برداشت. همچنين بسياري از سطرها غيرقابل مشاهده بودند و بعضي از قسمت هاي چندين صفحه يا پاره شده بود يا بر اثر فرسودگي از ميان رفته بود.
سرانجام محققان به فكر استفاده از تصويربرداري كامپيوتري افتادند. محققاني از مؤسسه تكنولوژي روچستر، شركت بوئينگ و دانشگاه جان هاپكينز براي نوشتن برنامه اي كه بتواند نوشته هاي رياضي را از نوشته هاي مذهبي جدا كند، گردهم آمدند. در شروع كار توليد چنين نرم افزاري غيرممكن به نظر مي رسيد. به خصوص در نواحي پاره شده و لبه صفحات، مشكل بسيار بيشتر بود. دكتر نتس و دكتر ويلسون از دانشگاه آكسفورد براي بازسازي نوشته ها از هر ابزار ممكن مانند نور ماوراي بنفش، تصويرسازي كامپيوتري و عكس هايي كه دكتر هايبرگ از صفحات كتاب برداشته بود، استفاده كردند. حتي در بعضي موارد از حدس و گمان هم بهره جستند. اما در نهايت بينش و بصيرت و يا خوش شانسي دكتر نتس بود كه منجر به درك استوماكيون شد. چند ماه پيش هنگامي كه دكتر نتس شروع به رونويسي يكي از صفحات كرده بود نامه الكترونيكي جالبي دريافت كرد. مضمون نامه، مدلي از پازل استوماكيون بود كه از شيشه هاي آبي رنگي تهيه شده و از آنها عكس گرفته شده بود. اين مجموعه را يك تاجر بازنشسته طراحي كرده بود. دكتر نتس با نگاه كردن به مدل هاي ساخته شده دريافت كه شكل روي صفحه اي كه در حال رونويسي آن است، درست همان پازل استوماكيون است و از اينجا بود كه دريافت ارشميدس در پي دستيابي به چه چيزي بوده است. شكل به جا مانده از ارشميدس شامل ۱۴ تكه بود و كلمه بسيار زياد هم كنار آنها نوشته شده بود. دكتر هايبرگ اين كلمه را به اين صورت تفسير كرده بود كه اين ۱۴ تكه را مي توان به روش هاي زيادي كنار هم چيد اما با آزمايش هايي كه دكتر نتس انجام داد و تكه ها را كنار هم چيد رابطه جالبي را ميان آنها كشف كرد كه به نظر مي رسد همان منظور ارشميدس باشد. دكتر نتس مي گويد هدف ارشميدس از كنار هم چيدن اين قطعات به دست آوردن اشكال مختلف نبود، بلكه به دست آوردن شكل مربع بوده است.
اما آيا خود ارشميدس موفق به پيدا كردن تعداد راه حل ها شده است؟
دكتر نتس در پاسخ اين سئوال مي گويد: من مطمئن هستم كه ارشميدس اين مسئله راحل كرده است اما نخواسته كه جواب را در كنار آن بنويسد. اما عددي را كه به دست آورده بود درست بوده يا نه، معلوم نيست. درباره تعبيري كه در زبان يوناني براي واژه استوماكيون وجود دارد، در ميان رياضيدانان اتفاق نظر وجود ندارد. اما دكتر دياكونيس يك حدس مي زند: اين لغت از دل پيچه گرفته شده است كه اگر به آن دچار شويد چه ها كه نخواهيد كشيد.
گينا كولاتا - ترجمه ناصر گوهري
